本书是研究分数微积分的经典书籍，致力于论述任意实数阶导数和积分概念、任意实数阶微积分方程以及它们在不同领域的应用。主要目的是为读者展示分数微积分、分数微分方程及其解法与应用的基本概念与理论。全书共分七部分，包括分数微积分中的特殊函数、分数导数的经典定义与积分变换、分数阶系统描述与线性分数微分方程理论及其求解算法、分数阶控制理论与应用、分数阶元件与复杂系统行为过程的数学建模、分形与分抗、分数阶电路与系统等。

Igor Podlubny为斯洛伐克科希策理工大学教授，应用数学博士，专注于研究数学在其他领域的应用，特别是对任意阶微分方程的应用。
袁晓，1964年生，四川中江人，工学博士，四川大学电子信息学院副教授。目前主要从事现代电路系统理论与技术、现代信号分析与处理等方面的研究与教学。近年来，致力于探索并建立表征与分析、理解与构造分数阶（电路）元件、分抗逼近电路、分数阶电路与系统等的一般数学原理与方法。提出标度拓展理论，探索与建立非正则标度方程相关理论与求解方法。

第1章分数微积分中使用的特殊函数
1.1伽马函数
1.1.1伽马函数的定义
1.1.2伽马函数的一些性质
1.1.3伽马函数的极限表示
1.1.4贝塔函数
1.1.5围线积分表示
1.1.61/Γ(z)的围线积分表示
1.2米塔-列夫勒函数
1.2.1定义及其一些函数关系
1.2.2双参量米塔-列夫勒函数的拉普拉斯变换
1.2.3米塔-列夫勒函数的导数
1.2.4有关米塔-列夫勒函数的微分方程
1.2.5求和公式
1.2.6米塔-列夫勒函数的积分
1.2.7渐近展开
1.3赖特函数
1.3.1赖特函数的定义
1.3.2赖特函数的积分表达式
1.3.3赖特函数与其他函数的关系
第2章分数导数与分数积分
2.1基本概念与名称
2.2格林瓦尔-莱特尼科夫分数导数
2.2.1整数阶导数与积分的统一定义
2.2.2任意阶积分
2.2.3任意阶导数
2.2.4(t－a)β的分数导数
2.2.5具有整数阶导数的复合运算
2.2.6分数导数的复合运算
2.3黎曼-刘维尔分数导数
2.3.1整数阶导数与积分的统一定义
2.3.2任意阶积分
2.3.3任意阶导数
2.3.4(t－a)β的分数导数
2.3.5黎曼-刘维尔分数导数与整数阶导数的复合运算
2.3.6分数导数的复合运算
2.3.7黎曼-刘维尔定义与格林瓦尔-莱特尼科夫定义之间的关系
2.4其他一些定义
2.4.1卡普途分数导数
2.4.2广义函数法
2.5序贯分数导数
2.6左和右分数导数
2.7分数导数的性质
2.7.1线性性质
2.7.2分数导数的莱布尼茨法则
2.7.3复合函数的分数导数
2.7.4单参量积分的黎曼-刘维尔分数导数
2.7.5下端点附近的行为
2.7.6远离下端点的行为
2.8分数导数的拉普拉斯变换
2.8.1拉普拉斯变换的基本知识
2.8.2黎曼-刘维尔分数导数的拉普拉斯变换
2.8.3卡普途分数导数的拉普拉斯变换
2.8.4格林瓦尔-莱特尼科夫分数导数的拉普拉斯变换
2.8.5米勒-罗斯序贯分数导数的拉普拉斯变换
2.9分数导数的傅里叶变换
2.9.1傅里叶变换的基本知识
2.9.2分数积分的傅里叶变换
2.9.3分数导数的傅里叶变换
2.10分数导数的梅林变换
2.10.1梅林变换的基本知识
2.10.2黎曼-刘维尔分数积分的梅林变换
2.10.3黎曼-刘维尔分数导数的梅林变换
2.10.4卡普途分数导数的梅林变换
2.10.5米勒-罗斯分数导数的梅林变换
第3章分数微分方程：解的存在性与唯一性定理
3.1线性分数微分方程
3.2一般形式的分数微分方程
3.3作为解法的存在性与唯一性定理
3.4解与初始条件的依赖关系
第4章分数微分方程：拉普拉斯变换法
4.1标准分数微分方程
4.1.1常线性分数微分方程
4.1.2偏线性分数微分方程
4.2序贯分数微分方程
4.2.1常线性分数微分方程
4.2.2偏线性分数微分方程
第5章分数格林函数
5.1定义与性质
5.1.1定义
5.1.2性质
5.2单项方程
5.3双项方程
5.4三项方程
5.5四项方程
5.6一般情况：n项方程
第6章分数阶方程的其他求解方法
6.1梅林变换法
6.2幂级数法
6.2.1单项方程
6.2.2非定常系数方程
6.2.3双项非线性方程
6.3Babenko符号演算法
6.3.1符号法的思想
6.3.2在热传导和物质输运中的应用
6.3.3Babenko符号法与拉普拉斯变换法的联系
6.4正交多项式法
6.4.1正交多项式法的核心思想
6.4.2正交多项式法的一般技巧
6.4.3里斯分数位势
6.4.4左黎曼-刘维尔分数积分和导数
6.4.5有关左黎曼-刘维尔分数积分的其他谱系关系
6.4.6右黎曼-刘维尔分数积分的谱系关系
6.4.7蠕变理论中的Arutyunyan方程求解
6.4.8阿贝尔积分方程的求解
6.4.9有限部分积分
6.4.10与非可积权函数正交的雅可比多项式
第7章分数导数的数值计算
7.1分数阶导数的黎曼-刘维尔定义与格林瓦尔-莱特尼科夫定义
7.2分数导数的逼近
7.2.1分数差分法
7.2.2求积公式的应用
7.3“短时记忆”原理
7.4逼近阶
7.5系数的计算
7.6高阶逼近
7.7高炉墙体内热负荷强度变化的计算
7.7.1问题的引入
7.7.2分数阶微分和积分
7.7.3热流量的分数阶导数计算法——方法A
7.7.4基于炉墙热场模拟仿真的热流量计算法——方法B
7.7.5解法的比较
7.8有限部分积分与分数导数
7.8.1用分数导数进行有限部分积分计算
7.8.2用有限部分积分进行分数导数计算
第8章分数微分方程的数值求解
8.1初始条件：什么问题需要求解？
8.2数值求解
8.3数值求解举例
8.3.1弛豫-振荡方程
8.3.2定常系数方程：浸入平板的运动
8.3.3不定系数方程：流体中气体溶解问题
8.3.4非线性问题：半无限体的辐射冷却
8.4“短时记忆”原理在分数微分方程初值问题中的应用
第9章分数阶系统与控制器
9.1分数阶系统与分数阶控制器
9.1.1分数阶控制系统
9.1.2分数阶传输函数
9.1.3米塔-列夫勒型新函数
9.1.4一般公式
9.1.5单位冲激响应与单位阶跃响应
9.1.6一些特殊情形
9.1.7PIλDμ控制器
9.1.8开环系统响应
9.1.9闭环系统响应
9.2举例
9.2.1分数阶被控系统
9.2.2整数阶逼近
9.2.3整数阶PD控制器
9.2.4分数阶控制器
9.3分数阶系统辨识
9.4小结
第10章分数微积分的应用综述
10.1阿贝尔积分方程
10.1.1一般要点备注
10.1.2一些方程可简化为阿贝尔方程
10.2黏弹性力学
10.2.1整数阶模型
10.2.2分数阶模型
10.2.3分数微积分相关方法
10.3反馈放大器的伯德分析
10.4分数阶电容器理论
10.5电路
10.5.1树分抗
10.5.2链分抗与串分抗
10.5.3多孔堤坝的电路模拟模型
10.5.4Westerlund广义分压器
10.5.5分数阶Chua-Hartley系统
10.6电分析化学
10.7电极-电解液界面
10.8分数多极点
10.9生物学
10.9.1生物系统的电导性
10.9.2神经元的分数阶模型
10.10分数扩散方程
10.11控制理论
10.12实验数据拟合
10.12.1经典回归模型的缺点
10.12.2分数导数法
10.12.3举例：Nizna Slana矿山钢缆
10.13“分数阶”物理学
附录A分数导数表
注译附录A 分数微积算子、分抗与分抗逼近电路及其运算特征
注译附录B Oldham分形链分抗逼近电路的输入阻抗函数序列的求解方法
注译附录C 粗糙界面电极的电路建模与标度拓展——非正则标度方程
注译附录D 任意阶分数算子的有理逼近——标度拓展与非正则标度方程
注译附录E 分数微积分的应用实现问题
中英文词汇对照表
参考文献
注译参考文献
注译后记