本书分为复变函数论和数学物理方程两部分。复变函数论部分通过扩展实变函数理论知识体系介绍复变函数论的知识内容，在增强逻辑性的基础上降低阅读难度。数学物理方程部分通过精选大量实例，从物理问题的提出、泛定方程和定解条件的导出开始，介绍定解问题的各种求解方法。本书在复变函数论部分着重强调复变函数论知识体系的整体性，在数学物理方程部分着重强调定解问题的物理意义，在泛定方程的导出和定解问题求解过程中，通过相似的求解步骤强化定解问题思想解决物理问题的应用，增强科学性和可读性。 本书是为物理和数学基础知识薄弱的物理学及相关理工科专业本科生编写，适合作为普通院校物理学及相关理工科专业本科生教材。

数学物理方法是物理学专业及相关理工科专业本科生和研究生必修的一门专业基础课， 这门课程已成为各专业学习的“拦路虎”，甚至被戏称为理工科本科生（特别是一般院校理工科本科生）课程中的“天书”。 为此，本书以物理问题的提出、 定解问题的导出（建模）、定解问题的求解为主线串联课程内容，配以大量几何图形、物理图像，帮助读者降低课程学习难度。 本书分为复变函数论和数学物理方程两篇。为了突出知识的连贯性、物理思想的连续性以及数学的工具性，本书在编排时有两大特点： （1） 复变函数论是纯数学，共分为8章。为了让读者更容易从整体上掌握本课程的内容，此部分通过扩展实变函数理论知识体系的方法介绍复变函数论。采用的方式是将实变函数的内容对应扩展到复变函数：数学上从实数集不满足运算封闭性的缘由扩展实数集到复数集（第1章）；扩展实变函数导数、积分、幂级数为复变函数的导数（第2章）、积分（第3章）、幂级数展开（第4章），在复变函数积分和幂级数展开的基础上介绍复变函数积分的重要定理——留数定理（第5章）；扩展实变函数傅里叶级数到傅里叶变换（第6章）；扩展函数的傅里叶变换到拉普拉斯变换（第7章）。第8章Delta函数相对独立，是求解定解问题的冲量定理法和格林函数法的数学基础。组织此部分内容的主题思想是对实变函数的扩展，串联此部分内容的方法是通过不断地提出问题将章节之间的内容形成递进关联的关系，期望采用这种方法使读者快速掌握课程内容，并提高提出问题及解决问题的能力。 （2） 数学物理方程是本课程的核心和难点，学习此部分内容需要大量的物理知识基础和数学知识基础。本部分以物理问题的提出、定解问题的导出（物理问题的数学建模）和定解问题的数学求解、求解结果的物理讨论为主线，借用程序设计的“对象模式”和“程序调用”思想，将物理问题的提出、建模、求解过程作为主体，数学知识作为求解工具进行“程序调用”：第9章“步骤重复式”地介绍一维、二维、三维定解问题的导出；第10章介绍部分定解问题达朗贝尔公式法；第11章至第13章同样运用“步骤重复式”的方法，以具体的物理系统作为研究对象，分别讨论一维、二维、三维定解问题的分离变数法求解（这是本课程求解定解问题最重要的方法之一）。为了避免冗长的数学推演破坏物理上求解问题的整体性，第一个做法是将一维、二维、三维定解问题的齐次泛定方程的分离变数过程集中放在第14章，每个齐次泛定方程的分离变数过程完全独立，读者在第11章至第13章中求解定解问题时可单独查阅（程序调用），也可以先行学习；第二个做法是将施图姆-刘维尔本征值问题（齐次泛定方程分离的常微分方程和边界条件分离的结果结合形成）的求解单独列入第15章，每个本征值问题的求解过程尽量独立，方便第11章至第13章求解问题时进行“程序调用”，这样做能非常清晰地展现定解问题的求解思路。第11章至第13章定解问题的“步骤重复式”求解方法能达到强化训练定解问题求解思路的作用。第16、17章是独立于第10~13章的另外两种定解问题的求解方法，第16章是利用总源激发的场叠加形成实际物理场思想，利用积分工具表达定解问题的解。第17章是利用第一篇复变函数论的两种重要变换——傅里叶变换和拉普拉斯变换将微分方程化为代数方程求解，然后通过反演达到求解定解问题的目的。 为降低学习难度，本书插入的图像图形近两百幅，目的是尽量以几何图像和物理图像展示帮助 读者理解数学演算和物理过程。同时对于一些复杂的导数、积分运算、方程组求解、常微分方程求解，本书不做详尽推演，通过脚注和给出Mathematica软件的命令一键完成。 阅读本书需要具备以下数学知识和物理知识。 数学知识：函数的导数、积分、泰勒级数展开，二元函数的导数、线积分及其相关定理，常系数一阶、二阶常微分方程的求解。 物理知识：质点力学的牛顿第二定律，弹簧静力学的胡克定理，弹性杆拉伸与压缩的胡克定理, 平衡态热力学系统热量（粒子数）守恒律、扩散定理、热传导定理，静电场库仑定律、环路定理、高斯定理、电场强度与电势之间的关系。 如果以上知识掌握得不扎实，可以在学习本书的过程中根据书中提供的关键词返回查阅，这也是降低学习难度的一种方法。 为了尽量让读者区分书中的数学知识、物理知识，阅读时轻松抓住重点，书中采用了不同的字体强调相关内容，具体字体与知识类别之间的对应关系如下： 宋体加粗——重要概念 隶体——物理概念或物理定理（每一章前三次出现 方正舒体——数学专业术语、概念（每一章前三次出现 边框字体——问题引导、重要性提示、思维方法 黑体——重要的数学定理或数学结论 本书的编写得到了岭南师范学院物理科学与技术学院的大力支持，特别是全军教授在本书编写过程中指出了大量问题，并提出了许多宝贵意见，在此表示衷心的感谢。 由于作者知识和能力有限，本书难免有不妥之处，切盼读者批评指正。 作者 2021年4月

第一篇 复变函数论 第1章 复数的引入及其运算、复变函数 2 1.1 实数集扩展到复数集的必要性 2 1.1.1 物理需求 2 1.1.2 数集封闭性需求 3 1.2 实数集扩展到复数集 4 1.2.1 引入复数的基本假设 4 1.2.2 复数的基本特点 5 1.3 实数运算扩展到复数运算 5 1.3.1 加法扩展 5 1.3.2 减法扩展 5 1.3.3 乘法扩展 5 1.3.4 除法扩展 6 1.3.5 幂运算扩展 6 1.4 实变函数扩展到复变函数 12 1.4.1 复变函数 12 1.4.2 区域解释 13 1.4.3 复变函数特例 13 1.4.4 复变函数的二元实变函数表示 14 第2章 复变函数的导数与解析函数 16 2.1 复变函数的导数 16 2.1.1 柯西-黎曼条件 16 2.1.2 函数可导的充分必要条件 17 2.1.3 极坐标系下的柯西-黎曼条件 18 2.1.4 复变函数的求导规则 18 2.2 解析函数 19 2.2.1 解析函数的定义 19 2.2.2 解析函数特例 19 2.2.3 解析函数的性质 19 2.2.4 解析函数实部与虚部的关联 22 第3章 复变函数的积分 25 3.1 复变函数的路径积分 25 3.1.1 复变函数路径积分的定义 25 3.1.2 路径积分的实变函数表示 25 3.1.3 复变函数路径积分的性质 26 3.1.4 积分特例 26 3.2 函数积分与路径的关系 27 3.2.1 单连通区域、复连通区域 27 3.2.2 单连通区域上的柯西积分定理 28 3.2.3 复连通区域上的柯西积分定理 29 3.2.4 柯西积分定理总结 30 3.2.5 重要积分 30 3.3 柯西积分公式及推论 32 3.3.1 柯西积分公式 32 3.3.2 柯西积分公式的扩展 33 3.3.3 柯西积分公式的推论 34 3.3.4 柯西积分公式的应用 34 3.4 不定积分 34 第4章 复变函数的幂级数展开 35 4.1 复数项级数 35 4.1.1 复数项级数的定义 35 4.1.2 复数项级数收敛的判据 35 4.1.3 收敛级数之间的关系 36 4.1.4 各项为函数时复数项级数的收敛性 36 4.1.5 收敛性、连续性结论 36 4.2 幂级数 37 4.2.1 幂级数的定义 37 4.2.2 幂级数的收敛判据 37 4.2.3 收敛半径计算例题 39 4.2.4 幂级数与解析函数 40 4.3 解析函数的幂级数展开 41 4.3.1 解析函数的泰勒级数展开 41 4.3.2 解析函数的洛朗级数展开 45 4.4 函数的奇点 51 第5章 复变函数积分的留数定理 53 5.1 积分环路包围函数奇点的积分 53 5.1.1 一个孤立奇点的情况 53 5.1.2 多个孤立奇点的情况 54 5.2 函数奇点的留数计算 54 5.2.1 一般方法 54 5.2.2 可去奇点 54 5.2.3 极点的留数 54 5.2.4 留数计算例题 55 5.3 留数定理的应用 58 5.3.1 应用留数定理计算实变函数积分的可能性 58 5.3.2 类型（一）——含三角函数的积分计算 59 5.3.3 类型（二）——反常积分的计算 60 5.3.4 类型（三）——可化为反常积分的情况 62 5.3.5 类型（四）——实轴上有奇点的反常积分 64 第6章 函数的傅里叶变换 66 6.1 函数展开为傅里叶级数 66 6.1.1 周期函数展开为傅里叶级数 66 6.1.2 傅里叶级数的收敛性 66 6.1.3 奇函数、偶函数的傅里叶级数展开 67 6.1.4 有限区域上的函数展开为傅里叶级数 69 6.1.5 复数形式的傅里叶级数 69 6.2 非周期函数的傅里叶变换 70 6.2.1 实数形式的傅里叶变换 70 6.2.2 复数形式的傅里叶变换 74 6.2.3 傅里叶变换的基本性质 75 6.2.4 多元函数的傅里叶积分 77 第7章 实变函数的拉普拉斯变换 81 7.1 拉普拉斯变换的引入 81 7.1.1 符号法 81 7.1.2 傅里叶变换的延伸 82 7.2 拉普拉斯变换及其基本性质 82 7.2.1 拉普拉斯变换的定义 82 7.2.2 一般函数的拉普拉斯变换 84 7.2.3 拉普拉斯变换的基本性质 86 7.3 拉普拉斯变换的反演 88 7.3.1 黎曼-梅林反演公式 88 7.3.2 有理分式的反演法 89 7.3.3 查表法 90 7.3.4 Mathematica软件应用 91 7.4 拉普拉斯变换的应用 92 7.4.1 拉普拉斯变换解方程的思路 93 7.4.2 求解微分方程 93 附录 拉普拉斯变换函数表 96 第8章 Delta函数 99 8.1 δ函数的定义 99 8.2 δ函数的性质 100 8.2.1 奇偶性 100 8.2.2 阶跃函数可表示为δ函数的积分 100 8.2.3 挑选性 100 8.2.4 连续分布函数与δ函数 101 8.2.5 δ函数与方程的根 101 8.3 δ函数的傅里叶积分 103 8.3.1 δ函数的傅里叶积分 103 8.3.2 广义函数与δ函数 103 8.4 多维δ函数 105 第二篇 数学物理方程 第9章 定解问题的导出 108 9.1 定解问题 108 9.1.1 泛定方程 109 9.1.2 边界条件 109 9.1.3 初始条件 109 9.2 定解问题的导出 110 9.2.1 一维定解问题的导出 110 9.2.2 二维定解问题的导出 124 9.2.3 三维定解问题的导出 131 9.3 泛定方程的数学分类 136 9.3.1 泛定方程的线性属性分类 136 9.3.2 泛定方程的齐次性分类 137 9.4 边界条件的物理属性分类 137 9.5 边界条件的数学分类 138 9.5.1 边界条件的线性属性 138 9.5.2 边界条件的齐次性 138 9.6 定解问题的物理分类 138 第10章 定解问题的求解——达朗贝尔公式 140 10.1 达朗贝尔公式 140 10.1.1 一维振动问题的通解 140 10.1.2 函数f1(x)和f2(x)的确定 142 10.1.3 特例 142 10.2 端点的反射 145 10.2.1 半波损失 145 10.2.2 正常反射 146 10.3 定解问题的整体性与适定性 147 第11章 定解问题的求解——一维问题的分离变数法 149 11.1 齐次方程、齐次边界条件定解问题 149 11.1.1 例题1（两端第一类齐次边界条件） 149 11.1.2 例题2（两端第二类齐次边界条件） 156 11.1.3 例题3（混合齐次边界条件） 159 11.2 非齐次泛定方程、齐次边界条件定解问题 162 11.2.1 傅里叶级数法 163 11.2.2 冲量定理法（初始条件均为齐次） 165 11.3 非齐次边界条件的定解问题 169 11.4 一般定解问题处理 173 11.4.1 有界系统的振动问题 173 11.4.2 有界系统的输运问题 174 第12章 定解问题的求解——二维问题的分离变数法 175 12.1 矩形系统的定解问题 175 12.1.1 例题1（拉普拉斯方程的狄里希利问题） 175 12.1.2 例题2（泊松方程的狄里希利问题） 178 12.2 圆形系统的定解问题 182 12.2.1 例题1（拉普拉斯方程的狄里希利问题） 182 12.2.2 例题2（泊松方程的狄里希利问题） 186 第13章 定解问题的求解——三维问题的分离变数法 190 13.1 球内部的定解问题 190 13.1.1 例题1（球内拉普拉斯方程第一边值问题） 190 13.1.2 例题2（半球内拉普拉斯方程边值问题） 194 13.1.3 例题3（球内输运方程第一边值问题） 197 13.2 球边界衔接条件定解问题 201 13.3 球外部定解问题 205 13.4 圆柱体内部定解问题 208 13.4.1 例题1（圆柱内拉普拉斯方程柱侧第一类边值问题） 208 13.4.2 例题2（圆柱内拉普拉斯方程上下两底面第一类边值问题） 211 13.5 圆柱体外部定解问题 215 第14章 定解问题的求解——齐次泛定方程分离变数 218 14.1 一维齐次泛定方程分离变数 218 14.1.1 一维自由振动方程分离变数 218 14.1.2 一维自由输运方程分离变数 219 14.2 二维齐次泛定方程分离变数 219 14.2.1 二维拉普拉斯方程在直角坐标系中分离变数 220 14.2.2 二维拉普拉斯方程在极坐标系中分离变数 220 14.2.3 二维自由振动方程在直角坐标系中分离变数 221 14.2.4 二维自由振动方程在极坐标系中分离变数 222 14.2.5 二维自由输运方程在直角坐标系中分离变数 223 14.2.6 二维自由输运方程在极坐标系中分离变数 224 14.3 三维齐次泛定方程分离变数 225 14.3.1 三维拉普拉斯方程在直角坐标系中分离变数 225 14.3.2 三维拉普拉斯方程在球坐标系中分离变数 226 14.3.3 三维拉普拉斯方程在柱坐标系中分离变数 227 14.3.4 三维自由振动方程在直角坐标系中分离变数 228 14.3.5 三维自由振动方程在球坐标系中分离变数 229 14.3.6 三维自由振动方程在柱坐标系中分离变数 231 14.3.7 三维自由输运方程在直角坐标系中分离变数 233 14.3.8 三维自由输运方程在球坐标系中分离变数 234 14.3.9 三维自由输运方程在柱坐标系中分离变数 234 第15章 定解问题的求解——施图姆-刘维尔本征值问题 236 15.1 二阶、齐次、线性常微分方程解的结构 236 15.2 二阶、齐次、线性、常系数微分方程的本征值问题 236 15.2.1 第一类齐次边值条件问题 236 15.2.2 第二类齐次边值条件问题 239 15.2.3 混合齐次边值条件问题 241 15.2.4 自然周期边值条件问题 242 15.3 施图姆-刘维尔本征值问题 244 15.3.1 施图姆-刘维尔方程 244 15.3.2 施图姆-刘维尔本征值问题特例 245 15.3.3 施图姆-刘维尔本征值问题的共同性质 247 15.3.4 希尔伯特空间 250 15.4 常微分方程级数法求解 251 15.4.1 常微分方程的常点与奇点 251 15.4.2 常点邻域的级数解 251 15.4.3 奇点邻域的级数解法 254 15.5 二阶、齐次、线性、变系数常微分方程的本征值问题 260 15.5.1 勒让德方程的解 260 15.5.2 连带勒让德方程的解 268 15.5.3 柱侧第一类齐次边值条件本征值问题 273 15.5.4 柱侧第二类齐次边值条件本征值问题 282 15.5.5 柱侧第三类齐次边界条件本征值问题 285 15.5.6 球贝塞尔方程的本征值问题 285 15.6 m阶虚宗量贝塞尔方程的特解 289 15.6.1 m阶虚宗量贝塞尔方程的第一个特解 289 15.6.2 m阶虚宗量贝塞尔方程的第二个特解 289 15.6.3 m阶虚宗量贝塞尔方程的通解 290 附录 极限法推演m阶诺伊曼函数 290 第16章 定解问题的求解——格林函数法 293 16.1 泊松方程的格林函数法 293 16.1.1 泊松方程的基本积分公式 294 16.1.2 格林函数求解方法 298 16.1.3 格林函数法例题 299 16.2 波动方程定解问题的格林函数法 303 16.2.1 波动问题的格林函数对称性 303 16.2.2 波动问题解的积分公式 303 16.2.3 输运问题解的积分公式 304 16.2.4 用冲量定理法求含时格林函数 305 第17章 定解问题的求解——积分变换法 308 17.1 傅里叶变换法 308 17.1.1 例题1（一维无限长弦的自由振动问题） 308 17.1.2 例题2（一维无限长杆的自由输运问题） 309 17.1.3 例题3（一维无限长杆的有源输运问题） 310 17.1.4 例题4（一维半无限区域的限定源扩散问题） 311 17.1.5 例题5（一维半无限区域的恒定表面浓度问题） 312 17.1.6 例题6（三维无界空间的自由振动问题） 314 17.1.7 例题7（三维无界空间的受迫振动问题） 315 17.2 拉普拉斯变换法 317 17.2.1 例题1（一维无限长弦的自由振动问题） 317 17.2.2 例题2（一维半无限区域的恒定表面浓度问题） 318 17.2.3 例题3（一维无限长传输线问题） 319 参考文献 322