本书涵盖了线性代数尤其是矩阵理论中所有基本且重要的内容，包括：向量空间，内积空间与赋范向量空间，分块矩阵，矩阵的特征值与特征向量、特征多项式与极小多项式，酉三角化与分块对角化，矩阵的相似与标准型，矩阵的三角化、对角化以及多个矩阵的同时对角化，交换的矩阵族，矩阵的各种分解，特征值交错现象与惯性定理，各种特殊而重要的矩阵（酉矩阵、Hermite阵与斜Hermite阵、对称阵与斜对称阵、半正定矩阵与正定矩阵、正规矩阵以及各种特殊的正规矩阵等）等. 此外，书中还配有一定数量、难度适宜的习题，启发读者进一步思考.
在重点关注数据采集以及数据分析的领域，线性代数与矩阵方法越来越显示出其重要性. 因此，这本书是为学习纯数学与应用数学、计算机科学、经济学、工程学、数学生物学、运筹学、物理学以及统计学的学生而写的. 假设读者学习过初级微积分系列课程以及线性代数第一教程.
本书值得注意的特点包括以下方面：
系统地用到分块矩阵.
强调了矩阵以及矩阵分解.
由于酉矩阵与可行且稳定的算法相关，所以本书中强调了涉及酉矩阵的变换.
贯穿全书有大量的例子.
用图形来说明线性代数的几何基础.
以短小精练的章节涵盖一学期课程的内容.
有许多章都包含了一些特殊的论题.
每一章都包含一节问题（总共有600多个问题）.
注记一节提供了有关额外信息来源的参考资料.
每一章都总结了在该章中引进的重要概念.
本书中所用的符号都列在记号表中.
有超过1700条索引帮助读者确定概念与定义在书中出现的位置，这提高了本书作为参考资料的使用价值.
书中的矩阵与向量空间均相对于复数域而言. 使用复的向量使得对于特征值的研究更加便利，这也是与现代数值线性代数软件相吻合的. 此外，它还与在物理学（量子力学中复的波函数与Hermite矩阵）、电气工程（相位与振幅两者都重要的电路与信号分析）、统计学（时间序列与特征函数）以及计算机科学（快速Fourier变换、迭代算法中的收敛矩阵以及量子计算）中的应用密切相关.
学生在使用这本书学习线性代数时，可以观察并实际使用良好的数学交流技巧. 这些技巧包括：如何细心地陈述（以及阅读）一个定理；如何选择（以及利用）假设；怎样用归纳法、反证法，或者通过证明逆否命题来证明一个命题；如何通过减弱假设或者加强结论来改进一个定理；怎样利用反例；如何对一个问题写出有说服力的解答.
线性代数应用中的许多有用内容都超出了线性变换以及相似性的范围，所以它们不出现在采用算子方法的教材之中. 这些内容包括：
Gergorin 定理
Householder 矩阵
QR分解
分块矩阵
离散Fourier变换
循环矩阵
非负元素组成的矩阵（Markov矩阵）
奇异值分解与紧致奇异值分解
低秩逼近数据矩阵
广义逆（MoorePenrose逆）
半正定矩阵
Hadamard（逐个元素的）乘积与Kronecker（张量）乘积
矩阵范数
最小平方解与极小范数解
复对称阵
正规阵的惯性
特征值交错与奇异值交错
包含特征值、奇异值以及对角元素的不等式
这本书是按照如下方式组织的：
第0章复习初等线性代数的定义与结论.
第1章与第2章复习复的与实的向量空间，包括线性无关性、基、维数、秩以及线性变换的矩阵表示.
“第二教程”的内容从第3章开始，它建立了贯穿本书使用的分块矩阵范式.
第4章与第5章复习欧几里得平面上的几何，并利用它来派生出内积空间和赋范线性空间的公理. 内容包括正交向量、正交射影、标准正交基、正交化、Riesz表示定理、伴随以及Fourier级数理论的应用.
第6章引进了酉矩阵，在本书其余部分的结构中都要用到它. 在构造QR分解时要用到Householder矩阵，而QR分解在许多数值算法中都要用到.
第7章讨论正交射影、最佳逼近、线性方程组的最小平方（或极小范数）解，以及用QR分解来求解正规方程.
第8章介绍特征值、特征向量以及几何重数. 我们要证明，n×n复矩阵有1到n个相异的特征值，并且要用Gergorin定理来确定复平面中包含它们的一个区域.
第9章处理特征多项式以及代数重数. 我们为对角化建立了判别法，并定义了可对角化矩阵的初等矩阵函数. 内容包括Fibonacci数、AB与BA的特征值、换位子以及同时对角化.
第10章包括令人称奇的Schur定理：每一个方阵都与一个上三角阵（具有一个和交换族有关的结果）酉相似. Schur定理用来证明每个方阵都被它的特征多项式零化. 受后面这个结果的启发而产生了极小多项式这个概念以及对其性质的研究. 这里还证明了关于线性矩阵方程的Sylvester定理，并用它来证明每个方阵都与一个具有单谱对角分块的分块对角矩阵相似.
第11章建立在上一章的基础之上，它要证明每个方阵都相似于一个特殊的分块对角的上双对角矩阵（它的Jordan标准型），这个标准型除了其中直和项的排列次序之外是唯一的. Jordan标准型的应用包括线性微分方程组的初值问题、AB与BA的Jordan构造的分析、收敛矩阵与幂有界矩阵的特征刻画，以及元素为正的Markov矩阵的一个极限定理.
第12章讨论正规矩阵，即与其共轭转置可交换的矩阵. 谱定理说的是：矩阵是正规矩阵，当且仅当它可以酉对角化.已知这一结论的其他多个等价的表述. Hermite矩阵、斜Hermite矩阵、酉矩阵、实正交阵、实对称阵以及循环矩阵都是正规矩阵.
半正定阵是第13章的讨论对象. 这种矩阵是在统计学（相关矩阵以及正规方程）、力学（振动系统中的动能与势能）以及几何学（椭球体）中出现的. 内容包括平方根函数、Cholesky分解以及Hadamard乘积与Kronecker乘积.
第14章主要是奇异值分解，它是统计学、控制论、逼近论、图像压缩以及数据分析中许多现代数值算法的核心. 内容包括紧致奇异值分解与极分解，并特别关注这些分解的唯一性问题.
在第15章里，用奇异值分解来压缩图像或者压缩数据矩阵. 这一章里讨论的奇异值分解的其他应用有矩阵的广义逆（MoorePenrose逆）、奇异值与特征值之间的不等式、矩阵的谱范数、复对称矩阵以及幂等矩阵.
第16章研究加边的或者遵从一个附加摄动的Hermite矩阵的特征值交错现象. 相关的讨论包括奇异值的交错定理、正定性的行列式判别法以及刻画Hermite矩阵的特征值和对角元素的不等式. 我们要证明关于Hermite矩阵的Sylvester惯性定理以及关于正规矩阵的一个推广的惯性定理.
在前言后面有一个记号一览表. 在第16章后面有复数的复习资料以及一系列参考文献. 本书末尾附有详细的索引.
封面（指英文原书）图片是2002年纽约的一位艺术家LunYi Tsai所绘的一幅名为《又是夏天》的画，这位画家的工作常常受到数学题材的启发.
感谢Zachary Glassman做了许多图表，并回答了我们关于LaTex的问题.
感谢Dennis Merino、Russ Merris以及Zhongshan Li，他们仔细阅读了本书的初稿.
感谢2014年与2015年秋季参加第一作者在Pomona学院举办的高等线性代数课程的学生. 特别要感谢Ahmed Al Fares、Andreas Biekert、Andi Chen、Wanning Chen、Alex Cloud、Bill DeRose、Jacob Fiksel、Logan Gilbert、Sheridan Grant、Adam He、David Khatami、Cheng Wai Koo、Bo Li、Shiyue Li、Samantha Morrison、Nathanael Roy、Michael Someck、Sallie Walecka以及Wentao Yuan，他们指出了本书初稿中的若干错误.
还要特别感谢Ciaran Evans、Elizabeth Sarapata、Adam Starr以及Adam Waterbury对本书极其认真的审校.
S. R. G
R. A. H
斯蒂芬•拉蒙•加西亚（Stephan Ramon Garcia） 美国波莫纳学院数学教授，美国数学学会会士。他是4本书的作者，并发表了超过80篇论文。他的研究兴趣包括算子理论、复变量、矩阵分析、数论和离散几何。
罗杰•A. 霍恩（Roger A. Horn） 线性代数和矩阵理论领域国际知名数学专家。1967年获得斯坦福大学数学博士学位，曾任约翰•霍普金斯大学数学系主任，现为犹他大学研究教授。他还曾担任American Mathematical Monthly编辑。
译者序
前言
记号
第0章预备知识
01函数与集合
02纯量
03矩阵
04线性方程组
05行列式
06数学归纳法
07多项式
08多项式与矩阵
09问题
010一些重要的概念
第1章向量空间
11什么是向量空间
12向量空间的例子
13子空间
14线性组合与生成空间
15子空间的交、和以及直和
16线性相关与线性无关
17问题
18注记
19一些重要的概念
第2章基与相似性
21什么是基
22维数
23基表示与线性变换
24 基变换与相似性
25维数定理
26问题
27一些重要的概念
第3章分块矩阵
31行与列的分划
32秩
33分块分划与直和
34分块矩阵的行列式
35换位子与Shoda定理
36Kronecker乘积
37问题
38注记
39一些重要的概念
第4章内积空间
41毕达哥拉斯定理
42余弦法则
43平面中的角与长度
44内积
45内积导出的范数
46赋范向量空间
47问题
48注记
49一些重要的概念
第5章标准正交向量
51标准正交组
52标准正交基
53GramSchmidt方法
54Riesz表示定理
55基表示
56线性变换与矩阵的伴随
57Parseval等式与Bessel不等式
58Fourier级数
59问题
510注记
511一些重要的概念
第6章酉矩阵
61内积空间中的等距
62酉矩阵
63置换矩阵
64Householder矩阵与秩1射影
65QR分解
66上Hessenberg矩阵
67问题
68注记
69一些重要的概念
第7章正交补与正交射影
71正交补
72相容线性方程组的极小范数解
73正交射影
74最佳逼近
75不相容线性方程组的最小平方解
76不变子空间
77问题
78注记
79一些重要的概念
第8章特征值、特征向量与几何重数
81特征值特征向量对
82每个方阵有一个特征值
83有多少个特征值
84特征值在何处
85特征向量与交换矩阵
86实矩阵的实相似
87问题
88注记
89一些重要的概念
第9章特征多项式与代数重数
91特征多项式
92代数重数
93相似与特征值重数
94对角化与特征值重数
95可对角化矩阵的函数计算
96换位集
97AB与BA的特征值
98问题
99注记
910一些重要的概念
第10章酉三角化与分块对角化
101Schur三角化定理
102CayleyHamilton定理
103极小多项式
104线性矩阵方程与分块对角化
105交换矩阵与三角化
106特征值调节与Google矩阵
107问题
108注记
109一些重要的概念
第11章Jordan标准型
111Jordan块与Jordan矩阵
112Jordan型的存在性
113Jordan型的唯一性
114Jordan标准型
115微分方程与Jordan标准型
116收敛的矩阵
117幂有界矩阵与Markov矩阵
118矩阵与其转置阵的相似性
119AB与BA的可逆Jordan块
1110矩阵与其复共轭矩阵的相似性
1111问题
1112注记
1113一些重要的概念
第12章正规矩阵与谱定理
121正规矩阵
122谱定理
123偏离正规性的亏量
124FugledePutnam定理
125循环矩阵
126一些特殊的正规矩阵类
127正规矩阵与其他可对角化矩阵的相似性
128正规性的某些特征
129谱分解
1210问题
1211注记
1212一些重要的概念
第13章半正定矩阵
131半正定矩阵
132半正定矩阵的平方根
133Cholesky分解
134二次型的同时对角化
135Schur乘积定理
136问题
137注记
138一些重要的概念
第14章奇异值分解与极分解
141奇异值分解
142紧致奇异值分解
143极分解
144问题
145注记
146一些重要的概念
第15章奇异值与谱范数
151奇异值与逼近
152谱范数
153奇异值与特征值
154谱范数的上界
155伪逆阵
156谱条件数
157复对称阵
158幂等阵
159问题
1510注记
1511一些重要的概念
第16章交错与惯性
161Rayleigh商
162Hermite阵之和的特征值交错
163加边Hermite阵的特征值交错
164Sylvester判别法
165Hermite阵的对角元素与特征值
166Hermite阵的相合与惯性
167Weyl不等式
168正规矩阵的相合与惯性
169问题
1610注记
1611一些重要的概念
附录A复数
参考文献
索引
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