现代微分几何把分析工具拓广到更一般的空间，即流形上，并进而研究流形上的几何学。全书共分5章。第1章介绍Levi-Civita联络和Riemann截曲率；第2章介绍Laplace算子Δ的特征值、Hodge分解定理、谱理论和等谱问题；第3章介绍Riemann几何中的比较定理；第4章介绍特征值的估计和等谱问题的研究；第5章介绍曲率与拓扑不变量。

徐森林，1941年出生，著名数学家，中国科学技术大学数学系教授，博士生导师。1965年毕业于中国科学技术大学数学系几何拓扑学专业，师从著名数学家、中国科学院资深院士吴文俊先生，毕业后留校工作。主要从事几何、拓扑和计算复杂性理论方面的研究，曾先后在美国普林斯顿大学（1982-1984）、意大利国际物理中心（1988）、美国普渡大学、美国芝加哥大学（1995）等知名学府进行访问、合作研究，自1989年以来一直担任美国《数学评论》（Math. Rev.）特邀评论员。因在几何与拓扑方面科研成果突出，多次获得第三世界科学院（TWAS）科学基金、国家自然科学基金和科学院专题基金。教学工作成果非常突出，培养了一大批知名数学家，获得过包括宝钢教学奖在内的多项奖项。编著过多部教材，深受数学专业学生喜爱，其中与他人合写的《数学分析》于1986年获国家教委优秀教材二等奖。1990-1995年和1995-2000年分别担任首届和第二届教育部数学与力学教学指导委员会委员。在数学研究和教学上的成就受到了国内外数学界的重视，1995年被收入美国《世界名人录》。

序言
前言
第1章 Levi-Civita联络和Riemann截曲率
1．1 向量丛上的线性联络
1．2 切丛上的线性联络、向量场的平移和测地线
1．3 Levi-Civita联络和Riemann流形基本定理
1．4 Riemann截曲率、Ricci曲率、数量曲率和常截曲率流形
1．5 C∞浸入子流形的Riemann联络
1．6 活动标架
1．7 C∞函数空间C∞（M，R）=C∞（∧0M）=F0（M）上的Laplace算子△
1．8 全测地、极小和全脐子流形
1．9 Euclid空间和Euclid球面中的极小子流形
1．10 指数映射、Jacobi场、共轭点和割迹
1．11 长度和体积的第1、第2变分公式


第2章 Laplace算子△的特征值、Hodge分解定理、谱理论和等谱问题
2．1 星算子*、上微分算子δ、微分形式Fs（M）=C∞（∧sM）上的Laplace算子△
2．2 Hodge分解定理
2．3 不可定向紧致C∞Riemann流形的Hodge分解定理
2．4 Laplace算子△的特征值
2．5 主特征值的估计
2．6 等谱问题


第3章 Riemann几何中的比较定理
3．1 Rauch比较定理、Hessian比较定理、Laplace算子比较定理、体积比较定理
3．2 拓扑球面定理


第4章 特征值的估计和等谱问题的研究
4．1 紧致Riemann流形上第1特征值的估计
4．2 关于Laplace算子的大特征值
4．3 紧致流形的Laplace算子的谱
4．4 球面上紧致子流形的等谱问题
4．5 Clifford超曲面Mn1，n2的谱
4．6 紧致极小超曲面上Laplace算子的谱
4．7 紧致超曲面上Laplace算子的谱


第5章 曲率与拓扑不变量
5．1 具有非负Ricci曲率和大体积增长的开流形
5．2 完备非紧流形上射线的excess函数
5．3 具有非负Ricci曲率的开流形的拓扑
5．4 具有非负曲率完备流形的体积增长及其拓扑
5．5 小excess与开流形的拓扑
5．6 曲率下界与有限拓扑型
5．7 excess函数的一个应用
5．8 小excess和Ricci曲率具有负下界的开流形的拓扑
5．9 具有非负Ricci曲率的开流形的基本群（Ⅰ）
5．10 具有非负Ricci曲率的开流形的基本群（Ⅱ）
5．11 渐近非负Ricci曲率和弱有界几何的完备流形
5．12 曲率与Betti数
5．13 球面同伦群的伸缩不变量
5．14 积分Ricci曲率有下界对基本群和第1 Betti数的限制
5．15 具有有限调和指标的极小超曲面
参考文献