本书系统而全面地介绍复变理论及其在工程问题上的应用，理论与实际应用密切结合，对工程类学科的学生来说，这种方式更生动地表达了数学理论的内涵。
第1章 复数 1
1.1 复数代数 1
1.2 复数的点表示 7
1.3 向量与极式 14
1.4 复指数 26
1.5 幂与根 33
1.6 平面集 39
1.7 黎曼球面与球极射影 44
小结 51
第2章 解析函数 53
2.1 复变函数 53
2.2 极限与连续性 58
2.3 解析性 65
2.4 柯西–黎曼方程 73
2.5 调和函数 79
*2.6 调和函数的一个实例—恒温 87
*2.7 迭代映射—茹利亚集与芒德布罗集 91
小结 95
第3章 初等函数 99
3.1 多项式与有理函数 99
3.2 指数函数、三角函数与双曲函数 110
3.3 对数函数 118
3.4 垫、楔与壁 125
3.5 复幂函数与复反三角函数 131
*3.6 在振荡系统中的应用 138
小结 145
第4章 复积分 149
4.1 周线 149
4.2 周线积分 161
4.3 积分与路径的无关性 173
4.4 柯西积分定理 180
4.4.a 周线形变法 180
4.4.b 向量分析法 191
4.5 柯西积分公式及其推论 204
4.6 解析函数的界 214
*4.7 在调和函数中的应用 221
小结 230
第5章 解析函数的级数表示 235
5.1 序列与级数 235
5.2 泰勒级数 242
5.3 幂级数 252
*5.4 收敛的数学理论 262
5.5 洛朗级数 269
5.6 零点与奇点 277
5.7 无穷远点 287
*5.8 解析延拓 292
小结 304
第6章 留数理论 307
6.1 留数定理 307
6.2 [0,2π]上三角函数的积分 314
6.3 (–∞,+∞)上某些函数的反常积分 318
6.4 涉及三角函数的反常积分 328
6.5 凹周线 337
6.6 关于多值函数的积分 345
6.7 辐角原理与儒歇定理 355
小结 367
第7章 共形映射 369
7.1 拉普拉斯方程的不变性 369
7.2 几何性质 377
7.3 默比乌斯变换 383
7.4 默比乌斯变换（续） 395
7.5 施瓦茨–克里斯托费尔变换 407
7.6 在静电学、热流与流体力学中的应用 419
7.7 共形映射在物理中的进一步应用 432
小结 443
第8章 应用数学的变换 445
8.1 傅里叶级数（有限傅里叶变换） 446
8.2 傅里叶变换 464
8.3 拉普拉斯变换 476
8.4 z变换 486
8.5 柯西积分与希尔伯特变换 495
小结 509
附录A 共形映射的数值结构 513
附录B 共形映射表 531
奇数练习答案 539
Contents
Contents
1 Complex Numbers 1
1.1 TheAlgebraofComplexNumbers ................... 1
1.2 Point Representation of Complex Numbers . ............. 7
1.3 VectorsandPolarForms ........................ 14
1.4 TheComplexExponential ....................... 26
1.5 PowersandRoots ............................ 33
1.6 PlanarSets ............................... 39
1.7 The Riemann Sphere and Stereographic Projection . ......... 44
Summary ................................ 51
2 Analytic Functions 53
2.1 FunctionsofaComplexVariable .................... 53
2.2 LimitsandContinuity.......................... 58
2.3 Analyticity ............................... 65
2.4 TheCauchy-RiemannEquations .................... 73
2.5 HarmonicFunctions........................... 79
2.6 *Steady-State Temperature as a Harmonic Function . ......... 87
2.7 *IteratedMaps:JuliaandMandelbrotSets . . ............. 91
Summary ................................ 95
3 Elementary Functions 99
3.1 PolynomialsandRationalFunctions . . . . . ............. 99
3.2 The Exponential, Trigonometric, and Hyperbolic Functions . . . . . . 110
3.3 TheLogarithmicFunction ....................... 118
3.4 Washers,Wedges,andWalls ...................... 125
3.5 Complex Powers and Inverse Trigonometric Functions . . . . . . . . 131
3.6 *ApplicationtoOscillatingSystems . . . . . ............. 138
Summary ................................ 145
4 Complex Integration 149
4.1 Contours................................. 149
4.2 ContourIntegrals ............................ 161
4.3 IndependenceofPath .......................... 173
4.4 Cauchy’sIntegralTheorem ....................... 180
4.4a Deformation of Contours Approach . . . ........... 180
4.4b VectorAnalysisApproach ................... 191
4.5 Cauchy’s Integral Formula and Its Consequences ........... 204
4.6 BoundsforAnalyticFunctions ..................... 214
4.7 *ApplicationstoHarmonicFunctions . . . . . . ........... 221
Summary ................................ 230
5 Series Representations for Analytic Functions 235
5.1 SequencesandSeries .......................... 235
5.2 TaylorSeries .............................. 242
5.3 PowerSeries .............................. 252
5.4 *MathematicalTheoryofConvergence. . . . . . ........... 262
5.5 LaurentSeries.............................. 269
5.6 ZerosandSingularities ......................... 277
5.7 ThePointatIn.nity........................... 287
5.8 *AnalyticContinuation ......................... 292
Summary ................................ 304
6 Residue Theory 307
6.1 TheResidueTheorem.......................... 307
6.2 Trigonometric Integrals over [0, 2π] .................. 314
6.3 Improper Integrals of Certain Functions over (.∞, ∞) ........ 318
6.4 Improper Integrals Involving Trigonometric Functions . . . . .... 328
6.5 IndentedContours............................ 337
6.6 Integrals Involving Multiple-Valued Functions . . ........... 345
6.7 The Argument Principle and Rouch′e’s Theorem . ........... 355
Summary ................................ 367
7 Conformal Mapping 369
7.1 InvarianceofLaplace’sEquation .................... 369
7.2 GeometricConsiderations ....................... 377
7.3 M¨obiusTransformations ........................ 383
7.4 M¨obiusTransformations,Continued .................. 395
7.5 The Schwarz-Christoffel Transformation . . . . . ........... 407
7.6 Applications in Electrostatics, Heat Flow, and Fluid Mechanics .... 419
7.7 Further Physical Applications of Conformal Mapping . . . . . .... 432
Summary ................................ 443
8 The Transforms of Applied Mathematics 445
8.1 FourierSeries(TheFiniteFourierTransform) ............. 446
8.2 TheFourierTransform ......................... 464
8.3 TheLaplaceTransform......................... 476
8.4 Thez-Transform ............................ 486
8.5 CauchyIntegralsandtheHilbertTransform .............. 495
Summary ................................ 509
A Numerical Construction of Conformal Maps 513
B Table of Conformal Mappings 531
Answers to Odd-Numbered Problems 539
精品教材 更多
