复变函数与积分变换作为高等院校工科各相关专业的一门必修基础课程，主要教学任务是培养学生的数学逻辑思维能力、科学计算能力和解决工程实际问题的能力，并为后续专业课程的学习奠定坚实的数学基础．
在互联网 的发展背景下，以慕课为代表的在线开放课程、以SPOC课为代表的线上线下混合课程等新兴的教学模式使得学生的学习方式和途径发生了巨大的变化，传统的纸质版教材已经不能很好地适应当前的教育理念，因此，编写新形态一体化教材成为教材改革的新趋势．
2019年，本课程被评为山西省高校数学类专业精品在线(共享)课程．2021年，本课程被评为山西省精品共享课程的建设课程．本书由中北大学长期从事一线教学的教师团队编写，注重将实践教学经验融入复变函数理论体系中，注重培养学生的自主学习能力，除了精心编写复变函数与积分变换的重要概念、原理和性质之外，本书在每章均配有相应的教学短视频，包括疑难知识点的讲解、经典例题的讲解．
本书共分为8章，主要内容包括：复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数及其应用、保角映射、傅里叶变换和拉普拉斯变换，同时还加入MATLAB和Python在复变函数与积分变换中的应用．其中，第1、5章由史娜负责编写；第2、7章由宋妮负责编写；第3、6章由毕湧负责编写；第4、8章由田宝玉负责编写．
本书的出版得到了中北大学教材建设经费资助，在编写过程中得到中北大学教务处、理学院数学系领导和教师的大力支持，白艳萍教授、杨明副教授和雷英杰副教授对书稿进行了审阅和修改，本书的编写还得到余本国副教授的热情帮助，在此对他们表示衷心的感谢.
由于编者水平所限，书中难免存在不足，欢迎广大专家、同行与读者批评指正．
编 者
第1章 复数与复变函数 1
1.1 复数及其运算 1
1.1.1 复数的概念 1
1.1.2 复数的表示法 1
1.1.3 复数的四则运算 3
1.1.4 共轭复数 5
1.1.5 复数的乘幂与方根 6
1.1.6 无穷远点与复球面 7
1.2 复平面上的点集 8
1.2.1 基本概念 8
1.2.2 复平面上的曲线 10
1.2.3 单连通域和多连通域 10
1.3 复变函数 11
1.3.1 复变函数的概念 11
1.3.2 复变函数的极限 12
1.3.3 复变函数的连续性 14
1.4 用MATLAB运算 14
本章小结 16
练习题 16
第2章 解析函数 18
2.1 解析函数的概念 18
2.1.1 复变函数的导数与微分 18
2.1.2 求导法则 19
2.1.3 解析函数的定义 20
2.2 函数解析的充要条件 21
2.3 初等复变函数 25
2.3.1 指数函数 25
2.3.2 对数函数 26
2.3.3 幂函数 27
2.3.4 三角函数与双曲函数 28
2.3.5 反三角函数与反双曲函数 30
2.4 用MATLAB运算 31
本章小结 31
练习题 32
第3章 复变函数的积分 33
3.1 复变函数积分的概念与性质 33
3.1.1 复变函数积分的概念 33
3.1.2 复变函数积分的存在性及其计算 34
3.1.3 复变函数积分的性质 37
3.2 柯西积分定理及其推广 38
3.2.1 柯西积分定理 38
3.2.2 解析函数的原函数 39
3.2.3 复合闭路定理 40
3.3 柯西积分公式和解析函数的高阶导数 42
3.3.1 柯西积分公式 42
3.3.2 解析函数的高阶导数 43
3.4 解析函数与调和函数的关系 47
3.4.1 调和函数 47
3.4.2 共轭调和函数 48
3.5 用MATLAB运算 50
本章小结 52
练习题 52
第4章 级数 55
4.1 复数项级数 55
4.1.1 复数序列的极限 55
4.1.2 复数项级数的概念 56
4.1.3 复数项级数的审敛法 56
4.2 复变函数项级数 58
4.2.1 函数项级数 58
4.2.2 幂级数及其收敛性 59
4.2.3 幂级数的收敛圆与收敛半径 60
4.2.4 幂级数的运算与性质 63
4.3 泰勒级数 64
4.3.1 泰勒展开定理 64
4.3.2 几个初等函数的幂级数展开式 66
4.4 洛朗级数 70
4.4.1 洛朗级数的概念 70
4.4.2 洛朗展开定理 72
本章小结 77
练习题 78
第5章 留数及其应用 80
5.1 孤立奇点 80
5.1.1 孤立奇点的分类 80
5.1.2 孤立奇点的性质 81
5.1.3 函数零点与极点的关系 83
*5.1.4 函数在无穷远点的性态 85
5.2 留数 87
5.2.1 留数的概念和计算 87
5.2.2 留数定理 90
*5.2.3 解析函数在无穷远点处的留数 93
5.3 留数在定积分计算中的应用 96
5.3.1 形如的积分 96
5.3.2 形如的积分 98
5.3.3 形如的积分 100
* 5.4 对数留数与辐角原理 103
5.4.1 对数留数 103
5.4.2 辐角原理 105
5.5 用MATLAB运算 109
本章小结 111
练习题 111
第6章 保角映射 113
6.1 保角映射 113
6.1.1 解析函数的导数的几何意义 113
6.1.2 保角映射的概念 116
6.2 分式线性映射 118
6.2.1 分式线性映射的概念 118
6.2.2 分式线性映射的分解 119
6.2.3 分式线性映射的性质 120
6.3 决定分式线性映射的条件 123
6.3.1 三对对应点地决定分式线性映射 123
6.3.2 三类重要的分式线性映射 126
6.3.3 杂例 132
6.4 几个初等函数所构成的映射 135
6.4.1 幂函数与根式函数 135
6.4.2 指数函数与对数函数 139
本章小结 142
练习题 142
第7章 傅里叶变换 145
7.1 傅里叶变换的概念 145
7.1.1 傅里叶级数 145
7.1.2 傅里叶积分定理 147
7.1.3 傅里叶变换的定义 148
7.2 单位脉冲函数 149
7.2.1 单位脉冲函数的概念 150
7.2.2 单位脉冲函数的性质 151
7.3 傅里叶变换的性质 153
7.3.1 线性性质 153
7.3.2 对称性质 154
7.3.3 相似性质 154
7.3.4 平移性质 155
7.3.5 微分性质 155
7.3.6 积分性质 156
7.3.7 乘积定理 157
7.3.8 能量积分 157
7.4 傅里叶变换的卷积 158
7.4.1 卷积的定义 158
7.4.2 卷积定理 159
7.5 用MATLAB运算 160
本章小结 161
练习题 161
第8章 拉普拉斯变换 163
8.1 拉普拉斯变换的概念 163
8.1.1 拉普拉斯变换的定义 163
8.1.2 拉普拉斯变换的存在定理 165
8.2 拉普拉斯变换的性质 166
8.2.1 线性性质 166
8.2.2 相似性质 167
8.2.3 微分性质 167
8.2.4 积分性质 169
8.2.5 平移性质 170
8.2.6 拉普拉斯变换的卷积 170
8.2.7 拉普拉斯变换的卷积定理 171
8.3 拉普拉斯逆变换 172
8.3.1 反演积分公式 172
8.3.2 留数法 172
8.3.3 部分分式法 173
8.4 拉普拉斯变换的应用 174
8.4.1 微分方程的拉普拉斯变换解法 174
8.4.2 积分方程的拉普拉斯变换解法 175
8.5 用MATLAB运算 176
本章小结 177
练习题 177
附录Ⅰ Fourier变换简表 179
附录Ⅱ Laplace变换简表 182
附录Ⅲ ??函数的基本知识 186
参考文献 190
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