Gabor框架理论研究可追溯至1946年，Gabor首次提出了Gabor系的概念，对Gabor系严格的数学分析始于Janssen1980年左右发表的系列论文。自此，Gabor框架理论迅速发展，并广泛应用于工程及无线通信等领域。目前，全空间中的Gabor框架理论研究已取得丰硕成果，其子空间Gabor框架理论研究取得了一定进展。本书关注有理时频Gabor框架，分别在全空间及子空间的背景下探讨了通常有理时频Gabor框架、混合有理时频Gabor框架、离散混合有理时频Gabor框架、向量值有理时频Gabor框架的刻画及其Gabor对偶的构造问题，并在此方面得到了丰富的结论；同时，利用调和分析工具，通过小波无条件基刻画了高维Lebesgue空间。本书可用作数学专业小波分析研究方向的研究生教材，也可供相关领域的研究人员参考。

张岩，理学博士， 北方民族大学副教授，硕士研究生导师。主要研究方向为小波分析、Gabor分析，对子空间Gabor标架理论作了比较系统的研究，研究成果发表在Int. J. Wavelets Multiresolut Inf. Process.，Sci. China Math.，Abstr. Appl. Anal.，J. Korean Math. Soc.，Appl. Math. Comput.等SCI杂志上。发表SCI期刊论文11篇。主持国家自然科学地区项目1项；主持完成国家自然科学基金青年项目1项、宁夏自然科学基金一般项目一项、宁夏高校科研一般项目1项；入选第四批宁夏托举人才工程；获北方民族大学2014-2015年度"科研工作先进个人”荣誉称号。

第1 章预备知识. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
1.1 记号. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 基本概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 研究背景. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
第2 章小波无条件基. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1 引言. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 定理2.1.2 的证明. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 定理2.1.3 和定理2.1.1 的证明. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
第3 章子空间通常有理时频Gabor 框架. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1 引言. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 框架刻画. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3 Gabor 对偶. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4 应用至全空间的情形. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
第4 章全空间混合有理时频Gabor 框架. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.1 引言. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2 辅助结论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3 主要结果证明. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.4 一些例子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
第5 章子空间混合有理时频Gabor 框架. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.1 引言. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.2 一些辅助结论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.3 框架刻画. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.4 Gabor 对偶刻画. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.5 一个注记及一个例子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
第6 章子空间离散混合有理时频Gabor 框架. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.1 引言. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.2 Zak 变换及Zak 变换矩阵. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.3 框架刻画. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118
6.4 Gabor 对偶刻画. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.5 通常离散Gabor 框架的情形. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134
第7 章子空间向量值有理时频Gabor 框架. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.1 引言. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.2 框架刻画. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144
7.3 对偶的唯一性刻画. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.4 Balian-Low 定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
第8 章周期子空间向量值有理时频Gabor 框架. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
8.1 引言. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
8.2 完备性及框架刻画. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
8.3 对偶刻画及表达. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8.4 例子定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .183
后记. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
参考文献. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .