《原子物理学.下, 原子：一种量子构件》阐述近代原子物理学的基本原理和重要实验. 《原子物理学.下, 原子：一种量子构件》分为上、下两册,上册论述原子和电磁辐射场的相互作用, 下册主要内容是建立在量子力学基础上的原子结构.下册着重在量子力学基础上阐述原子内部结构, 并将有心势场中独立电子近似模型加以推广, 用以解释 X 射线谱和原子能级. 通过大量具体计算方法和光谱实验演示实例说明理论与实验的精确符合, 并将读者带向当代原子物理学的科研前沿.

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目录
致中国同学
序
译者前言
上册目录
附录1适用于各种单位制的电磁学公式汇编
所用符号表
第11章 有心势中无自旋的单个电子 1
11.1 引言，复习 1
11.1.1 玻尔模型的描述 1
11.1.2 圆运动的特征参量 3
11.2 氢原子的量子研究，库仑场 4
11.2.1 薛定谔方程 4
11.2.2 角向部分研究，球谐函数 5
11.2.3 径向部分研究 8
11.2.4 主要结果，能级 10
11.3 氢原子中电子出现的概率 12
11.3.1 归一化问题 13
11.3.2 径向概率 14
11.3.3 角向概率 16
11.4 与实验的比较 18
11.4.1 氢原子谱 18
11.4.2 类氢系统 20
11.5 非库仑有心势情况（l简并的解除）26
11.5.1 贯穿轨道态与非贯穿轨道态 26
11.5.2 具有一个外层电子的原子的量子模型 27
11.5.3 对钠原子的应用 29
第12章 有心势中独立电子近似，电子组态 32
12.1 近似的必要性 32
12.1.1 一个复杂原子中的各种相互作用 32
12.1.2 有心力场近似 33
12.2 有心势中N个独立电子系统的能量，组态 34
12.2.1 能量值 34
12.2.2 电子态的描述，组态 36
12.3 泡利原理和组态的简并 37
12.3.1 斯莱特行列式与泡利原理 37
12.3.2 属于同一壳层或支壳层的最多电子数目 38
12.3.3 一个组态的简并度与宇称 39
12.4 元素周期分类法 41
12.4.1 基态组态 41
12.4.2 原子的基态组态与性质 42
第13章 X射线谱 49
13.1 X射线发射 49
13.1.1 波长或频率的测量 49
13.1.2 连续谱与谱线 50
13.2 X射线的吸收 52
13.2.1 吸收谱 52
13.2.2 X射线光电子的速度谱 55
13.3 X射线的发射谱线 57
13.3.1 与吸收谱的比较 57
13.3.2 观察X线系的条件，不相容原理 59
13.3.3 与光谱的比较 61
13.4 莫塞莱定律 64
13.4.1 作为原子序数函数的结合能 64
13.4.2 有心势模型下的解释 66
第14章 角动量与能级的统计 68
14.1 角动量的合成 68
14.1.1 有关角动量的量子力学结果 68
14.1.2 标记法 69
14.1.3 一个满支壳层的总角动量 70
14.1.4 基态角动量 70
14.2 自旋-轨道相互作用 71
14.2.1 电子坐标系中的磁场启B' 71
14.2.2 自旋磁矩与磁场B'的相互作用 73
14.2.3 原子中自旋-轨道耦合体系的估算 75
14.3 多电子原子中能级的计算原理 75
14.3.1 附加在哈密顿量H0上的修正项 76
14.3.2 哈密顿量的逐级近似 76
14.3.3 L-S耦合 78
14.3.4 j-j耦合 81
14.4 一个组态角动量的确定和能级的统计 84
14.4.1 属于不同支壳层的电子 84
14.4.2 等效电子（属于同一支壳层的）84
14.4.3 洪德定则 87
第15章 单电子和双电子体系的光谱学 88
15.1 选择定则 88
15.2 具有一个带自旋的外层电子的原子 90
15.2.1 总角动量 91
15.2.2 自旋-轨道耦合 91
15.2.3 观察到的光谱 93
15.3 氦原子与类氦离子 94
15.3.1 有心力场近似 94
15.3.2 电子间的静电相互作用，交换项 96
15.3.3 自旋-轨道相互作用 98
15.4 具有两个价电子的原子 99
15.4.1 L-S耦合的能级位置 99
15.4.2 L-S耦合多重态的朗德间隔定则和重心 101
15.4.3 具有两个价电子原子的光谱 103
15.4.4 j-j耦合的能级位置 104
15.4.5 复杂原子 106
15.5 氢原子的精细结构 107
15.5.1 对不考虑相对论修正结果的回顾 107
15.5.2 相对论修正 108
15.5.3 辐射修正 112
15.6 X射线谱 114
15.6.1 属于不同能级的角动量 114
15.6.2 谱项与能量 116
15.6.3 观察到的光谱 117
第16章 静磁场中的原子 118
16.1 概述与复习 118
16.2 均匀场下的哈密顿算符 119
16.2.1 自由电子情况 119
16.2.2 一个原子情况 120
16.3 弱场中的塞曼效应，L-S耦合情形 121
16.3.1 微扰论的应用 121
16.3.2 维格纳-埃克特定理：朗德因子的存在 122
16.3.3 朗德因子的计算 124
16.3.4 弱场中的塞曼能级图 125
16.3.5 光谱中塞曼组分的观察 125
16.4 强场中的帕邢-巴克效应，中等场情况 126
16.4.1 第一步：忽略自旋-轨道耦合 127
16.4.2 第二步：加上自旋-轨道耦合 129
16.4.3 中等场情况 130
16.5 塞曼效应和帕邢-巴克效应，具有一个或两个电子的情况 131
16.5.1 具有一个外层电子的原子 131
16.5.2 具有两个外层电子的原子，j-j耦合 135
第17章 原子核和原子物理学 139
17.1 核的磁矩和角动量 139
17.1.1 质子的磁矩 139
17.1.2 中子的磁矩 140
17.1.3 核的角动量和磁矩 142
17.2 能级的磁超精细结构 144
17.2.1 角动量的组合 145
17.2.2 超精细相互作用能量 145
17.2.3 相邻超精细能级之间的直接跃迁 147
17.3 磁超精细结构常数的计算 148
17.3.1 核磁矩与电子轨道磁矩之间的相互作用 148
17.3.2 核磁矩对电子自旋的作用 150
17.3.3 各种修正 150
17.4 对电子-核静电相互作用的修正 151
17.4.1 电四极矩效应 152
17.4.2 由质量和体积引起的同位素移位 153
17.5 光谱线的超精细结构 155
17.5.1 选择定则 155
17.5.2 汞的实例 155
17.6 外磁场的作用，塞曼效应与巴克-古德斯米特效应 157
17.6.1 磁场微扰哈密顿算符W 158
17.6.2 微弱场情况：塞曼效应 158
17.6.3 强场下的巴克-古德斯米特效应 160
17.6.4 甚强场情况 162
17.6.5 中等场情况，有效磁矩 162
第18章 波与二能级原子的量子相互作用 166
18.1 无自发发射的孤立原子 166
18.1.1 半经典的电偶极相互作用哈密顿算符 166
18.1.2 二能级薛定搏方程 168
18.1.3 拉比振荡解 169
18.1.4 在磁共振中观察拉比振荡 170
18.2 有自发发射的计算 171
18.2.1 平均集合变量 171
18.2.2 布洛赫微分方程 173
18.2.3 与磁共振的比较 174
18.2.4 阻尼振荡的一般解 174
18.3 稳态 175
18.3.1 极化与极化率 175
18.3.2 布洛赫方程的稳态解 177
18.3.3 平均跃迁概率，爱因斯坦系数 179
附录6矢量算符，维络纳-埃克特定理 183
A.6.1 角动量算符的复习 183
A.6.2 角动量与几何转动 184
A.6.3 矢量算符的对易关系 187
A.6.4 矢量算符的矩阵元 189
A.6.5 投影定理 191
A.6.6 标准分量和CG 192
A.6.7 补充，矢量模型 192
附录7磁场中的拉格朗日算符和哈密顿算符 194
A.7.1 经典拉格朗日形式的复习 194
A.7.2 磁场中的拉格朗日算符，广义动量 195
A.7.3 哈密顿函数和哈密顿算符 196
附录8经典辐射理论的回顾 198
A.8.1 振动偶极子的辐射 198
A.8.2 在介质中的传播 201
A.8.3 弹性束缚电子模型 204
A.8.4 振子强度 210
A.8.5 磁场的作用，经典塞曼效应 213
附录9多极矩 222
A.9.1 静止电荷情况，电多极矩 222
A.9.2 运动电荷情况，磁多极矩 225
A.9.3 电四极矩专题研究 229
附录10双原子分子物理概述 236
A.10.1 玻恩-奥本海默近似 236
A.10.2 双原子分子的哈密顿算符 237
A.10.3 双原子分子的电子能量 238
A.10.4 核运动的研究 242
A.10.5 能级与光谱的一般行为 246
深入阅读参考书目 251
索引 254
上册目录
致中国同学
译者前言
下册主题
引言
所用符号表
第一编能量与动量的交换
第1章 能量交换的量子化 3
1.1 普朗克定律的回顾 3
1.2 光电效应（能量交换量子化的确证）4
1.2.1 实验描述 4
1.2.2 阈值与最大反向电压的解释 6
1.2.3 灵敏度和量子效率 8
1.2.4 光电离 9
1.3 光谱（原子能级的量子化）11
1.3.1 组合原理和玻尔定律 12
1.3.2 光学共振实验，原子基态 15
1.3.3 谱线宽度，多普勒效应 18
1.4 原子蒸气的电子激发（能级量子化的确证）20
1.4.1 电离势 20
1.4.2 弹性碰撞与非弹性碰撞 23
1.4.3 共振电势，弗兰克-赫兹实验 24
1.4.4 临界势（激发能）27
第2章 辐射的动量 33
2.1 经典图景，辐射压强 33
2.1.1 用经典电磁学计算辐射压强 33
2.1.2 用动量概念解释 36
2.1.3 实验验证 37
2.2 光子的动量 39
2.2.1 从辐射压强出发 39
2.2.2 从相对论出发 40
2.3 光子的弹性散射，康普顿效应 41
2.3.1 X射线散射的康普顿实验 41
2.3.2 自由电子弹性散射的计算 43
2.3.3 康普顿电子的观察 46
2.3.4 束缚电子的弹性散射，汤姆孙散射 47
2.4 原子的非弹性散射 47
2.4.1 光子的吸收 48
2.4.2 光子的发射 49
2.4.3 r射线的应用，穆斯堡尔效应 50
2.4.4 光束引起的原子束偏转 53
2.4.5 补充，原子的减速或冷却 57
2.5 能量与动量交换体系的总复习 59
第3章 辐射跃迁概率 61
3.1 光波的吸收 61
3.1.1 吸收系数 61
3.1.2 与碰撞理论有效截面的比较，刚球模型 63
3.1.3 单位时间的跃迁概率 66
3.1.4 实验现象的频率分布 67
3.2 光子的自发发射 70
3.2.1 自发发射概率和激发态寿命 70
3.2.2 寿命的实验测量 72
3.3 感生或受激发射，爱因斯坦辐射理论 75
3.3.1 感生或受激发射概念 75
3.3.2 光学共振中三种跃迁的总计 76
3.3.3 辐射跃迁概率之间的关系 77
3.3.4 共振跃迁的饱和 80
第4章 微波激射器和激光器 84
4.1 光放大原理 84
4.1.1 总吸收系数，自透明 84
4.1.2 布居数反转，放大条件 85
4.2 布居数反转方法，抽运 86
4.2.1 原子或分子束选态 86
4.2.2 用另一跃迁的电磁波进行抽运 87
4.2.3 气体中的电子碰撞 90
4.2.4 与异类原子、离子或分子的碰撞 91
4.2.5 半导体中的电子注入 92
4.3 激光振荡器，谐振腔的作用 93
4.3.1 用于正反馈的光学腔 94
4.3.2 腔内一次来回的增益与损耗，振荡阈值 95
4.3.3 腔的品质因数和阻尼时间 97
4.3.4 无腔振荡（超辐射）99
4.4 运转状态 99
4.4.1 振荡频率，单模或多模状态 100
4.4.2 连续振荡器的时态 102
4.4.3 脉冲振荡器的时态 104
4.4.4 放大器的应用 106
第二编波-粒关系
第5章 相干波与光子 111
5.1 光波的相干性概念 111
5.2 时间相干性实例 113
5.2.1 邻近频率波的叠加 113
5.2.2 振幅变化引起的频率扩展 115
5.2.3 单模激光器的频率波动（跳变）122
5.2.4 长相干时间激光的应用 123
5.3 空间相干性 126
5.3.1 不同方向波的叠加 127
5.3.2 有限波束的角宽度 127
5.3.3 相干宽度的实际限制 129
5.3.4 激光空间相干性的应用 130
5.3.5 一个利用空间和时间两种相干性的实验 132
5.3.6 高斯光束 133
5.3.7 补充：髙斯光束中的不确定性原理 136
5.4 波与光子 136
5.4.1 如何描述一束电磁波中的光子？136
5.4.2 光电子计数 138
5.4.3 用光电子计数观察杨氏干涉花纹 141
5.4.4 用“单光子”观察法布里-拍罗环 144
5.4.5 极弱强度独立激光之间的干涉 146
5.4.6 补充：自发发射的球面波 147
第6章 物质粒子束的干涉 151
6.1 德布罗意波 151
6.2 奸干涉 152
6.2.1 实验装置 152
6.2.2 干涉花纹的计算与观察 154
6.2.3 数值计算，数量级 155
6.2.4 相继电子间的时间间隔 156
6.3 中子衍射和干涉 157
6.3.1 快中子和热中子 157
6.3.2 中子束的晶体衍射 158
6.3.3 中子束干涉 160
6.4 原子束的干涉 163
6.4.1 非共振光波诱导的动量转移 164
6.4.2 光驻波波腹平面上原子波的衍射 165
6.4.3 原子干涉仪 168
第三编与原子交换角动量
第7章 角动量与磁矩，旋磁效应 177
7.1 磁矩的微观定义 177
7.1.1 经典磁矩概念的回顾 177
7.1.2 对运动点电荷系统的推广 179
7.2 旋磁比和拉莫尔进动 180
7.2.1 旋磁比 180
7.2.2 均匀磁场的作用，陀螺仪效应 181
7.3 顺磁性与弛豫 182
7.4 爱因斯坦-德哈斯实验：改变磁化强度引起的旋转 185
7.4.1 实验原理 185
7.4.2 冲击运动实验的实现 186
7.4.3 持续振荡的实验 188
7.4.4 测量结果与结论 189
7.5 巴尼特实验：由旋转运动引起的磁化 189
7.6 磁共振实验：拉莫尔进动的证明 193
7.6.1 实验原理（没有弛豫时的计算）193
7.6.2 考虑弛豫时的计算：布洛赫方程 196
7.6.3 布洛赫方程的稳态解 197
7.6.4 射频检测的实验验证 200
7.6.5 磁共振现象的应用（电子顺磁共振EPR和核磁共振NMR）202
7.6.6 补充：能量交换的计算 205
第8章 施特恩-格拉赫实验，空间量子化 207
8.1 施特恩-格拉赫实验 207
8.1.1 实验原理 207
8.1.2 实验装置描述 208
8.1.3 实验结果 210
8.2#动量量子化 211
8.2.1 角动量量子数的定义 211
8.2.2 磁矩的应用，玻尔磁子和朗德因子 213
8.2.3 塞曼子能级 214
8.3 在计算顺磁磁化强度上的应用 216
8.3.1 布里渊的计算 216
8.3.2 与朗之万经典计算的比较 219
8.3.3 布里渊公式的实验验证 220
8.4 对磁共振的应用 221
8.4.1 相邻塞曼子能级的玻尔定则 221
8.4.2 用拉比方法的原子束实验，跃迁概率 222
8.4.3 稳态实验，布居数趋同与吸收功率 224
第9章 辐射的角动量，塞曼效应 227
9.1 经典图景，圆偏振波引起的转动 227
9.1.1 圆偏振的复习 227
9.1.2 光对各向异性薄片的作用力 230
9.1.3 用角动量概念的解释 233
9.1.4 实验验证 234
9.2 光子的角动量和磁共振 236
9.2.1 产生磁共振的波的偏振 237
9.2.2 磁共振引起的转动 239
9.3 磁量子数的选择定则，塞曼效应 239
9.3.1 选择定则 240
9.3.2 塞曼组分的频率和数目 241
9.3.3 实验观察与偏振 244
9.3.4 补充1：格罗特里安图 245
9.3.5 补充2：斜向收集光 246
9.4 激发态射频共振的光检测 247
9.5 基态光抽运 248
第10章 自由电子的角动量和磁矩 252
10.1 自旋假说 252
10.2 自由电子自旋的拉莫尔进动 253
10.2.1 电子自旋散射引起的极化 253
10.2.2 电子自旋的陀螺仪效应 255
10.2.3（g-2）的直接测量 256
10.3 自由电子自旋的磁共振 258
10.4 电磁阱的应用 259
10.4.1 带电粒子阱的功能 259
10.4.2 对电子的应用，测量（g-2）262
10.4.3 对正离子的应用 263
附录1适用于各种单位制的电磁学公式汇编 265
附录2原子束中的速度 267
A.2.1 蒸气中速度分布规律的回顾 267
A.2.2 原子束流的应用 268
附录3经典双体碰撞，质心，约化运动 270
A.3.1 约化为质心 270
A.3.2 弹性碰撞的结算 272
A.3.3 有心力运动的第一积分 274
附录4卢瑟福散射实验 277
A.4.1 选择α粒子作为投射粒子 277
A.4.2 通过单靶附近时投射粒子的偏转 278
A.4.3 粒子系统的统计，微分有效截面 279
A.4.4 势能为1/r的特殊情况，卢瑟福实验 281
附录5原子物理发展史概述 285
A.5.1 原子的存在与阿伏伽德罗常量M 285
A.5.2 电子的确认 286
A.5.3 辐射能量的量子化 286
A.5.4 原子结构 287
A.5.5 核磁性 287
A.5.6 波动力学或量子力学 288
索引 289

　　第11章有心势中无自旋的单个电子
　　11.1引言，复习
　　上册前面各章表明，原子物理学的许多问题都可采用简单模型和与经典力学很相近的分析方法来理解.但每当我们希望进行深入细致的研究时，就会要求做些不太自然、不太浅显的假说，以致要使经典理论发展与实验方面保持协调一致变得十分困难.
　　相反，量子力学方法则突出地显示了它们适用于原子物理.它们的渐进发展进程(从非相对论波动力学、狄拉克的相对论量子力学到场的量子理论)允许完整地理解和描述现象;在第15章(见15.5节)我们将看到，电子自旋概念的出现是量子力学发展的自然结果.然而从现在起我们应当始终记住，严格的处理只有对氢原子的情况才有可能，但即使对它非常严格也是不容易的.只有借助于各种不同的近似方法以后，才能研究比较复杂的系统.在这一章中，我们将阐明，怎样来描写有心势中一个无自旋电子的行为.这种研究包含只有一个电子的氢原子和类氢系统的情况.然而读者在本章中将可觉察到这样一个更为宽泛的考量：对于有心势中单个电子的研究结果将是研究多电子原子的基础.
　　对一个类氢原子中单个电子运动的定量研究要放到量子力学著作的背景里去进行.本章中我们将主要通过对物理现象和结果的描述来讨论一些基本点，尽可能采用常用的量子力学标记法.尽管对原子系统只有用这种量子描述才是唯一能令人满意的，我们还是要对经典描述做一个复习，以便引出后面要用的标记法.
　　11.1.1玻尔模型的描述
　　1913年玻尔为氢原子引入了简单的经典模型.这个模型将为描述原子、分子的特征参量的数量级提供一个参照系，并能为本领域物理学家常用的原子单位给出定义.
　　这个模型把电子的可能运动局限于电子在圆形轨迹上围绕着假定其质量为无穷的核的运动.规定为圆轨迹(半径r=C常量)等于要求两个运动常量之间有一个关系;这两个运动常量是总能量E和角动量L=mevr(me和v分别为电子的质量和速度).事实上，原子的静电势能是由电荷为.e的电子和相距为r、电荷为Ze的点状核形成的，它由下式给出：
　　为负常量(11.1)
　　此式意味着，势能的原点选为：当r=1，W(r)=0.
　　牛顿定律将相应的力与电子加速度联系起来，两者与电子的位置矢量~r共线，~r的方向是从电子指向核：运动的总能量和轨道角动量L=mevr由下式联系:
　　玻尔认为，轨道上的电子尽管加速，却不发射电磁波;但是，若电子开始处在一个能量为Ep的轨道上，当它不连续地过渡到能量为En的轨道时，却会发射出频率为onp的辐射.把辐射能量写成等于原子的能量损失时，我们有玻尔试图找到在常量C中Z=1时这个式子和氢原子发射波长的巴耳末{里德伯实验规律(见上册1.3.1节)的一致性：
　　其中，n和p是两个整数，R称为里德伯常量.为了在n和p两个数为任意值时使两个有关honp的式子等效，玻尔给经典运动方程附加了一个电子轨道角动量量子化的假说：
　　如果我们把量子化的角动量值放到能量的表达式中，就得到里德伯常量的表达式为其中，c是真空中的光速.
　　采用这个模型后，我们就可以证实，氢原子的不同能态有一个负的能量：我们赋予\零能量"这样的意义：通常它相当于电子远离原子核而处于无穷远处，其速度为零;就是说，原子被电离了.从这个通例可定义零能量为电离极限，因而可以说，在绝对值上量子化能量表示处在n态上的原子在电离时所需要提供的能量，或还可以说，它代表原子中电子的结合能.
　　11.1.2圆运动的特征参量
　　对经典圆运动还可算出其他一些参量(现在要保留原子序数Z以便最后加以推广).
　　a)电子速度
　　电子速度由下式给出：v=.如果用电子速度与光速之比v/c来进行计算，就会出现下面这个常数：
　　我们知道在CGS单位制中，40=1.这就是为什么在许多书里可以找到不同的表达式：=e2~c
　　，但是它们的数值是相同的，因为.是量纲一的.这个常量叫做\精细结构常数"，其理由将会在后面看到(参见15.5节).
　　对Z=1和n=1的氢原子情况，v比c小得多，其比值等于.;这证明不考虑相对论的计算是合理的.
　　b)运动能量
　　利用精细结构常数可把运动能量写成简单的形式：
　　(mec2=511keV是电子静止质量的能量，令n=Z=1，很容易得到氢原子基态能量为E1=.13:6eV).
　　里德伯常量也可写为：R=mec
　　c)轨道半径
　　玻尔轨道半径由下式给出：
　　或还可写为
　　(我们称=h=mec=0:0024nm为康普顿波长，参见上册2.3.2节).
　　在氢原子基态的情况(Z=1，n=1)下，有r=a0，称为\玻尔半径"：
　　对于原子序数为Z和任意n的类氢离子，相应的轨道半径为
　　我们得到了数量级与从阿伏伽德罗常量或从X射线衍射实验得到的原子间距离相一致的长度.这个量a0常被理论原子物理学家在原子单位制中作为长度单位.
　　11.2氢原子的量子研究，库仑场
　　11.2.1薛定谔方程
　　我们所要处理的问题是：一个电荷为.e的电子，被核的库仑静电场所吸引.倘若核是带正电荷e的质子，这个问题就是中性氢原子问题.倘若核所带的电荷等于2e;3e; ，则所研究的系统就是一次、二次 电离的原子，或者我们更严格地称这些\原子"为类氢离子.为了使叙述更为普遍化，取核的电荷为Ze，Z是原子序数.
　　在核的库仑势中电子形成的系统的势能由表达式(11.1)给出(在量子力学中通常称势能为\势")：
　　这里选择势能的原点为：当
　　在原子质心坐标系中原子系统的总能量由哈密顿算符来表示，它写为这里相对运动的动能是由相对动量算符~P和与电子质量me稍有不同的、系统约化质量1来描述的.通过引入系统的约化质量解决了把原子核牵涉进来的问题，这是在经典和量子两种力学中都采用的一样的方法(参见上册A.3节和后面11.4.1b节).在量子力学中，作用在波函数上的算符~P的三个分量是梯度算符~r=@@r的三个分量(参见附录6的A.6.1节)：由此得
　　其中，￠是拉普拉斯算符，微分是相对于电子对核的位置矢量~r的三个分量来计算的.
　　在写出哈密顿量H.=E.的本征值方程时，本征值E代表系统和相应本征波函数.的一个可能的能量值，而本征波函数描述原子的一个定态，这样我们就得到了薛定谔方程：
　　或者，把拉普拉斯算符用球坐标表示，有对于系统的束缚态，能量E是负的，而波函数.是归一化的(参见11.3节).
　　在量子力学中，对有心力场(其中W为只与r有关的有心势)运动的一般研究表明，由于问题的球对称性，哈密顿算符会与轨道角动量算符的任一分量相对易.这种对易意味着薛定谔方程的解与角算符L2和Lz的共同本征函数Y(μ;)成正比，这里~L是轨道角动量，L2是它的模的平方，Lz为它在原本是任意选择的量子化轴Oz上的分量.换句话说，薛定谔方程的解可以用一径向函数和角向函数Y(μ;')
　　的积来表示(参见量子力学教程)：
　　考虑到所期待的.(r;μ;')的形式，可把薛定谔方程写成：
　　这个方程的两部分分别依赖于不同变量，它们只有在各等于常数.的情况下
　　才能相等.就是说，下面两个方程应当同时成立：
　　不需要对方程求解就可看出方程的变量是分离的：(a)只跟径向变量有关，而(b)则只跟角向变量有关.常数.是分离参量.
　　11.2.2角向部分研究，球谐函数
　　角动量算符的研究是量子力学教程的重要一章.有关轨道角动量~L的结果表
　　明，算符L2和Lz对易，具有共同的本征函数Ylm(μ;')，它同时满足下面本征值的两个方程：
　　本征值用常数~和两个量子数l与m的函数表示.对一个角动量而言，这个函数中~的形式都是相同的.量子数l可为正值或零(l>0)，表征轨道角动量的模，下面将会看到，这是一个整数.量子数m表征角动量在量子化轴上的投影，它只能取2l+1个值：l，l+1， ，l.1，l.因为角算符L2和Lz在球坐标中的形式是函数Ylm(μ;')就需要满足两个等效于方程(11.14)的微分方程.
　　a)分离变量μ和与的关系
　　首先注意到，Lz只跟变量有关：
　　这个方程的解为两个角向变量μ和互相分离的一个函数：
　　其依赖于的部分由一个虚指数函数来描述：
　　存在一个物理上可被接受的解意味着.是角的单值函数，即
　　指数eim2 应等于1，这只有在m是正负整数时才有可能.由此可导出，在一个轨道角动量情况下，l也是整数.
　　b)与μ的关系
　　借助于算符L+=Lx+iLy和L.=Lx.iLy的递推关系可以确定￡lm(μ)的函数.最直接的解法是在球坐标中解L2算符的本征值方程(11.15)(a).我们注意到，在有下面等式的条件下：为整数，且l>0
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